Regla de los signos de Descartes y su utilidad

DescartesPara un polinomio, siendo:

 f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

  • La cantidad de raíces reales positivas es igual al número de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese número en una cantidad entera par.
  • La cantidad de raíces reales negativas es igual al número de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este número en una cantidad entera par.

 Ejemplo:

Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raíces positivas y negativas del siguiente polinomio.

x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6

Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ningún cambio de signos por lo cual hay 0 raices positivas.

f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6

En la segunda parte, tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio quedaría así:

 f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6

f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6

Aquí podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan cinco cambios de signo,  por lo cual se deduce que hay 5 raíces negativas

Sin embargo, como la regla dice que la cantidad de raíces puede ser disminuida en una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raíces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raíces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raíces, las raíces faltantes serían raíces imaginarias.

Utilidad:

La regla de los signos de Descartes es una  técnica de fácil aplicación que resulta de suma utilidad para la identificación de las raíces del polinomio.

El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la búsqueda de raíces, ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solución.

Por ejemplo:  Supongamos que tenemos una ecuación con dos cambios de signo  y  que mediante otros métodos hemos encontrado una solución positiva (k).

Por la regla de los signos sabemos que la ecuación tendrá dos soluciones positivas o no tendrá ninguna. Pero tenemos ya una k (solución positiva), por lo que la ecuación tiene dos raíces positivas exactamente. Esto indica que solo resta buscar la raíz faltante entre los números positivos.

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